如何化二次型为标准型，怎样化二次型为标准型

大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下如何化二次型为标准型的问题，以及和怎样化二次型为标准型的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

一、二次型如何化为标准型

正交变换法化二次型为标准型技巧如下：

1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。

2、求出A的所有特征值λ₁，λ₂，…，λn。

3、求出对应于特征值的特征向量a₁，a₂，…，an。

4、将特征向量正交化、单位化，得b₁，b₂，…，bn，记C=(b₁，b₂，…，bn)。

5、作正交变换x=Cy，则得f的标准型f=k₁y₁+k₂y₂+…+knyn。

二次型标准化的本质是合同对角化，并非相似对角化。

之所以可用正交矩阵相似对角化：一是因为正交矩阵的转置与逆相等，相似与合同是一回事。二是因为对称矩阵的特征向量在标准正交基矢下正交，并且没有亏损现象。注意这里说的正交是在标准正交基即正交归一坐标系里下正交，并非在上述二次型所对应的几何空间正交。

一定要清清楚楚、明明白白，不可混淆。

标准化可以明显地看出二次函数的对称轴，以及是否与x轴有交点，同时知道x求y也比较好算。

二、化二次型为标准型的三种方法

1、化二次型为标准型的三种方法如下：

2、如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。

3、例，f=x1^2+x2^2+3×3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=（x1^2+4x1x2+2x1x3）+x2^2+3×3^2+2x2x3=(x1+2×2+x3)^2-3×2^2+2×3^2-2x2x3=……=（x1+2×2+x3）^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2。

4、作变换y1=x1+2×2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2。将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分号表示矩阵行结束）就是合同变换中的变换矩阵。

5、将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵（A|I），在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换，当将A化为对角阵时，子块I将会变为C’。

6、先写出二次型f的tdbl，它是实对称矩阵，求出全部特征值λi（i=1，2，……，n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T，那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2。

三、用配方法化二次型为标准型怎么作线性变换

1、先将二次型配方，然后化简（合并同类项）。

2、使用变量替换，将向量x替换为向量y。

3、根据向量y与x之间的关系，写成变换矩阵。

线性空间V上的一个变换A称为线性变换，对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有

线性变换是线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。

对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉=〈a，σ（β）〉。

在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。

（1）设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α)；

（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变；

（3）线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。

参考资料来源：百度百科–配方法

参考资料来源：百度百科–线性变换

四、二次型标准型如何化为规范型

1、二次型标准型如何化为规范型如下：

2、任何二次型都可以化成规范型，只需要在标准型的基础上，再做非奇异变换，将平方项的系数变为1或-1就可以了。

3、平方项的系数即矩阵主对角线对应项的值，其他项的系数

4、写成(1/2)a的形式，a即矩阵对应项的值，如(1/2)a x1x2，

5、对一个 n行 n列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B使 AB= BA=E（E是单位矩阵），则 A为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

6、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

7、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

8、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

9、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

10、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

五、二次型如何化为规范型

1、正交相似变换法的基本定理，如下：

2、利用正交相似变换法吧二次型化为标准型的步骤，如下：

3、例题一、正交相似变换法把二次型化为标准型，如下：

4、拉格朗日配方法主要，是利用配方，将二次型方程化为标准型方程。我们通过一道例题来了解其定义，如下：

5、上面我们已经了解了什么是拉格朗日配方法，再让我们通过这道例题来巩固知识吧，如下：

好了，文章到此结束，希望可以帮助到大家。

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